求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan(\tan x)-\sin(\sin x)}{\tan x-\sin x}$

我们都是生活中的西西弗，重复着日复一日地习惯和循环的链条。神话故事中的西西弗亦是如此，被迫接受了无法抗争的命运，重复着滚石头的动作，荒谬且痛苦。

是曰： 我的歌 是一道静静的水流穿出幽谷 本是悠闲，而后激越。越是荒漠，越是悲壮。

我常幻想未来，想象着自己可能会成为一名诗人、先知或画家。

求证：$e>1+1+\frac{1}{2!}+$···$+\frac{1}{k!}$

不定方程：$a^x+(a+1)^y=(2a+1)^z$.$a,x,y,z$均为自然数，且$a>1$证明：若$x,y,z$不全为偶数，则$x=y=z=1$ 该猜想由本人约一年半前提出，曾发在StackExchange、数学研发论坛、AOPS论坛，可惜未有人给出完整证明。 2025/06/15更新证明： 对方程在模 $(a+1)$ 有

​ 回忆若能下酒，往事便可来一场宿醉，醒来时天依旧分明，风依旧清亮，敛裳立于光阴的两岸目送漂泊者的远去，便可知过去、现在、将来都是匆匆。

$\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}-\frac{x+\sqrt{xy}+y}{3}>\frac{x-y}{lnx-lny}$ 巧妙的将算术平均、几何平均、海伦平均、对数平均结合在了一起。

（2014·湖北·22）$\pi$为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数。（1）求函数$f(x)=\frac{lnx}{x}$的单调区间（2）将$e^3,3^e,3^{\pi},{\pi}^3,e^{\pi},{\pi}^e$这六个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。