误差传播定律
在统计学中,误差传播是指变量的不确定性(或误差,更具体地说是随机误差)对基于它们的函数的不确定性的影响。
设$\vec{Y}=f(\vec{X})$。
而$\sigma_y=\frac{d(f(x))}{dx}\sigma_x$
我们通过一阶泰勒公式进行线性化:
$$
\vec{Y}=f(\vec{X})\mathop\approx\limits^{\vec{X}=\vec{\mu_X}} f(\mu_X)+f_x(\vec{X})(X-\vec{\mu_X})
$$
计算协方差有:
$$
cov(\vec{Y})=cov(f(\vec{X}))=cov(h(\mu_X))+cov(f_x(\vec{X})(X-\vec{\mu_X}))
\=0+cov(f_x(\vec{X})(\vec{X}-\vec{\mu_X}))
\=f_x(\vec{X})Cov(\vec{X})f_x(\vec{X})^T
$$
而$f_x(\vec{X})$其实就是雅克比矩阵J。
故进一步简化为:$\Sigma^\vec{Y}=J\Sigma^\vec{X}J^T$
以上就是误差传播定律。
误差传播定律
https://lijianxiong.work/2022/20220531/