误差传播定律

在统计学中，误差传播是指变量的不确定性（或误差，更具体地说是随机误差）对基于它们的函数的不确定性的影响。

设$\vec{Y}=f(\vec{X})$。

而$\sigma_y=\frac{d(f(x))}{dx}\sigma_x$

我们通过一阶泰勒公式进行线性化：
$$
\vec{Y}=f(\vec{X})\mathop\approx\limits^{\vec{X}=\vec{\mu_X}} f(\mu_X)+f_x(\vec{X})(X-\vec{\mu_X})
$$
计算协方差有：
$$
cov(\vec{Y})=cov(f(\vec{X}))=cov(h(\mu_X))+cov(f_x(\vec{X})(X-\vec{\mu_X}))
\=0+cov(f_x(\vec{X})(\vec{X}-\vec{\mu_X}))
\=f_x(\vec{X})Cov(\vec{X})f_x(\vec{X})^T
$$

而$f_x(\vec{X})$其实就是雅克比矩阵J。

故进一步简化为:$\Sigma^\vec{Y}=J\Sigma^\vec{X}J^T$

以上就是误差传播定律。