辛普森公式

辛普森公式（Simpson‘s rule）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形。

$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$

辛普森公式的误差：

设$f(x)$在[a,b]上具有连续的四阶导数，则辛普森公式的误差为

$R_2(f)=-\frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\eta ),\eta \in [a,b].$

即：

$| \int_{a}^{b} f(x) d x - \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right] | \leq \frac{1}{90} \left(\frac{b-a}{2}\right)^5 \sup_{[a,b]} |f^{(4)}|.$

证明：

设$x=(a+b)/2,h=(b-a)/2$

对$\frac{6\int_{x-h}^{x+h}f(t)dt-2h(f(x+h)+4f(x)+f(x-h))}{h^5}$

以h为主元，反复使用柯西中值定理：

$=\frac{4f(x+h_1)-8f(x)+4f(x-h_1)-2h_1(f’(x+h_1)-f’(x-h_1))}{5h_1^4} $

$=\frac{2f’(x+h_2)-2f’(x-h_2)-2h_2(f’‘(x+h_2)+f’'(x-h_2))}{20h_2^3} $

$=\frac{2h_3(f’‘’(x+h_3)-f’‘’(x-h_3))}{60h_3^2}=\frac1{15}·\frac{f’‘’(x+h_3)-f’‘’(x-h_3)}{2h_3} $

$=\frac1{15}·f^{(4)}(x+h_4) $

其中$0<h_4<h_3<h_2<h_1<h$

证毕。