级数的若干反例

（一）$\sum _{n=1}^{\infty}a_n$收敛，但是$\sum _{n=1}^{\infty}{a_n}^3$发散

例子：
$$
\sum _{n=1}^{\infty}a_n=1-1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}-\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}-\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\
+…+\frac{1}{\sqrt[3]{k}}-\frac{1}{k\sqrt[3]{k}}(减去k个)-…
$$

（二）$\sum _{n=1}^{\infty}a_n$收敛，但是$a_n \neq o(\frac{1}{n})$

例子：
$$
\sum _{n=1}^{\infty}a_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4}+\
+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{9}…
\
（即对k^2项改写，将\frac{1}{n^2}换成\frac{1}{n}）
$$
（三）$a_n = o(\frac{1}{n})$，但是$\sum _{n=1}^{\infty}a_n$不收敛
$$
a_n=\frac{1}{nlnn}
$$

（四）$\sum _{n=1}^{\infty}a_n+b_n$收敛，但是$\sum _{n=1}^{\infty}a_n$、$\sum _{n=1}^{\infty}a_n$均不收敛。

例子：
$$
a_n=(-1)^n\ \ ,\ \ b_n=(-1)^{n+1}
$$
（五）$\sum _{n=1}^{\infty}a _{2n-1}+a _{2n}$收敛，但是$\sum _{n=1}^{\infty}u_n$不收敛。

例子：
$$
a_n=(-1)^n\ \ ,\ \ b_n=(-1)^{n+1}
$$
（六）$\lim _{n\ \rightarrow \ \infty \ }\ na_n=0$,但是$\sum _{n=1}^{\infty}a _{2n-1}+a _{2n}$收敛。

例子：
$$
a_n=\frac{1}{nlnn}
$$
（七）$\sum _{n=1}^{\infty}a_n$为发散的交错级数，但是$\lim _{n\ \rightarrow \ \infty \ }\ a_n=0$

例子：
$$
\sum _{n=1}^{\infty}a_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}\
+…+\frac{1}{(2n-1)^2}-\frac{1}{2n}+…
$$
（八）$\sum _{n=1}^{\infty}a_n$为发散的交错级数，但是$|a_n|>|a _n+1|$

例子：
$$
\sum _{n=1}^{\infty}a_n=(-1)^n(1+\frac{1}{n})
$$