京都大学 2021 年入学試験問題（理系数学）部分解答

京都大学 2021 年入学试题略解：

1.略

2.性质：抛物线上的一点处的切线与该店的搅拌机的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线准线。

3.解：根据欧拉公式：
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}\cos (\frac{n\pi}{6})\
=Re(\sum_{n=0} \left(\frac{e^\frac{i\pi}{6}}{2}\right)^n)\
=Re(\lim_{n\to\infty}\frac{1-(\frac{e^{\frac{i\pi}{6}}}{2})^n}{1-\frac{e^{\frac{i\pi}{6}}}{2}})\
=Re(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\frac{e^{\frac{i\pi}{6}}}{2}})\
=\frac{1}{13}(14+3\sqrt{3})
$$
4.略。

(1)略

(2)利用性质O为△ABC的外心，H为垂心，求证：$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$．(见《奥数教程》七（或者八）年级版)

(1)法一：

若n不是质数，设$n=ab$，其中$a、b＞1$。则$3^a-2^a|3^n-2^n$.故$3^n-2^n$是合数，矛盾。

法二：

利用西格蒙德（Zsigmondy）定理可进一步证明:

若$a^n-b^n$为素数的幂，其中$n>2，a、b>1$，且$gcd(a,b)=1$，则n也为素数。

(2)Hint:对a求导