2021新高考一卷压轴题

题目：
$$
f(x)=x(1-lnx) \
(1)求单调性\
(2)a不等于b，且blna-alnb=a-b\
证明：2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e
$$

（1）略

（2）

易证$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$是$f(x)$与$y=n$的两个两个公共点的横坐标，记作$x_1、x_2$,易知,$0<x_1<1<x_2<e$.

左式解法一：（对称化构造）

令$h(x)=f(2-x)-f(x)$，求导得其在$0<x<1$时单调递减，$f(2-x)>f(x)$

化简可得所证。
左式解法二：（放缩）

设
$$
x_1+a=x_1lnx_1>x_1*(\frac{1}{2}*(x_1-\frac{1}{x_1}))\

x_2+a=x_2lnx_2<x_2*(\frac{1}{2}*(x_2-\frac{1}{x_2}))
$$
记$h(x)=\frac{x^2}{2}-x-\frac{1}{2}$，则由上两式子得：$h(x_2)>h(x_1)$.

注意到，$h(x)$是对称轴为x=1的二次函数，故得证。

右式解法一：

设$h(x)=\frac{1-lnx}{e-x}.$
故$h’(x)=-\frac{-2x+xlnx+e}{x(e-x)^2}<0$
$\frac{1-lnx_1}{e-x_1}>\frac{1-lnx_2}{e-x_2}$
$\frac{x_1(1-lnx_1)}{x_1(e-x_1)}>\frac{x_2(1-lnx_2)}{x_2(e-x_2)}$
$\frac{1}{x_1(e-x_1)}>\frac{1}{x_2(e-x_2)}$
$(x_1-x_2)(x_1+x_2-e)>0$

右式解法二：
$$
x_1<x_1(1-lnx_1)=x_2(1-lnx_2)=x_2ln\frac{e}{x_2}\leq x_2(\frac{e}{x_2}-1)=e-x_2
$$
得证。

右式解法三：(长风数学)

$x_1<x_1(1-lnx_1)=x_2(1-lnx_2)$

$x_1+x_2<x_2(1-lnx_2)+x_2<e$

右式解法四：（对称化构造）

略。