机器学习之聚类算法

在一个典型的监督学习中，我们有一个有标签的训练集，我们的目标是找到能够区分正样本和负样本的决策边界，在这里的监督学习中，我们有一系列标签，我们需要据此拟合一个假设函数。与此不同的是，在非监督学习中，我们的数据没有附带任何标签。聚类算法(Clustering）是一种非监督学习算法。

K-means算法

K-means是最普及的聚类算法，算法接受一个未标记的数据集，然后将数据聚类成不同的组。

K-means是一个迭代算法，假设我们想要将数据聚类成n个组，其方法为:

首先选择$K$个随机的点，称为聚类中心（cluster centroids）；

对于数据集中的每一个数据，按照距离$K$个中心点的距离，将其与距离最近的中心点关联起来，与同一个中心点关联的所有点聚成一类。

计算每一个组的平均值，将该组所关联的中心点移动到平均值的位置。

重复步骤2-4直至中心点不再变化。

K-均值算法的伪代码如下：

Repeat {

for i = 1 to m

c(i) := index (form 1 to K) of cluster centroid closest to x(i)

for k = 1 to K

μk := average (mean) of points assigned to cluster k

}

算法分为两个步骤，第一个for循环是赋值步骤，即：对于每一个样例$i$，计算其应该属于的类。第二个for循环是聚类中心的移动，即：对于每一个类$K$，重新计算该类的质心。

K-means 的代价函数

K-means的代价函数（又称畸变函数 Distortion function）为：
$$
J(c^{(1)},…,c^{(m)},μ_1,…,μ_K)=\frac {1}{m}\sum^{m}{i=1}\left| X^{\left( i\right) }-\mu{c^{(i)}}\right| ^2
$$

其中$\mu _c^{(i)}$代表与$x^{(i)}$最近的聚类中心点。

回顾刚才给出的:
K-均值迭代算法，我们知道，第一个循环是用于减小$c^{(i)}$引起的代价，而第二个循环则是用于减小$\mu _i$引起的代价。迭代的过程一定会是每一次迭代都在减小代价函数，不然便是出现了错误。

随机初始化

为了避免使用K-means时出现陷入局部最优，我们通常需要多次（一般为50~1000次）运行K-均值算法，每一次都重新进行随机初始化，最后再比较多次运行K-均值的结果，选择代价函数最小的结果。这种方法在$K$较小的时候（2–10）还是可行的，但是如果$K$较大，这么做也可能不会有明显地改善。

选择聚类数

没有所谓最好的选择聚类数的方法，通常是需要根据不同的问题，人工进行选择的。

以下是一个可能会谈及的方法。

肘部法则：

我们所需要做的是改变$K$值，也就是聚类类别数目的总数。我们用一个聚类来运行K均值聚类方法。这就意味着，所有的数据都会分到一个聚类里，然后计算成本函数或者计算畸变函数$J$。$K$代表聚类数字。

我们可能会得到一条类似于这样的曲线。像一个人的肘部。这就是“肘部法则”所做的，让我们来看这样一个图，看起来就好像有一个很清楚的肘在那儿。好像人的手臂，如果你伸出你的胳膊，那么这就是你的肩关节、肘关节、手。这就是“肘部法则”。你会发现这种模式，它的畸变值会迅速下降，从1到2，从2到3之后，你会在3的时候达到一个肘点。在此之后，畸变值就下降的非常慢，看起来就像使用3个聚类来进行聚类是正确的，这是因为那个点是曲线的肘点，畸变值下降得很快，$K=3$之后就下降得很慢，那么我们就选$K=3$。当你应用“肘部法则”的时候，如果你得到了一个像上面这样的图，那么这将是一种用来选择聚类个数的合理方法。

但是通常我们得到的是右图，很难看出”肘部“的位置。所以“肘部法则”并不是一个非常常用的法则。