辨析依概率收敛和以概率一收敛

依概率收敛和以概率一收敛是常见的收敛定义。但不易分清。

往往其常见的定义比较含糊。

可以转换一下，变得更加清晰。

定义如下：

Xn是一个随机变量序列，X是随机变量，对于任意自然数ε>0

都有：

依概率收敛：

$$
\lim_{n\to\infty}P({\omega:|X_n(\omega)-X_0(\omega)|\geqε})=0
$$
以概率一收敛（几乎处处收敛）：

$$
\lim_{n\to\infty}P({\omega:\sup_{m>n}|X_m(\omega)-X_0(\omega)|\geqε})=0
$$

---

我们以一个图示来更加清晰地说明，我们把差值$|x_n-x|$绘成n的函数。为简单起见，把序列画成了曲线。于是曲线表示一特定的序列$|x_n(\xi )-x(\xi )|$。依概率收敛表示对于特定的$n>n_o$，仅有一小部分曲线的坐标超过ε(图(a))。当然，对于每一个$n>n_0$，可能甚至没有一条曲线始终小于ε,另一方面，几乎处处收敛则要求大多数曲线对每个$n>n_0$都低于ε(图(b))。

阅读材料：

1.Matt Simpson-I’m Almost Sure it’s Probably Converging… Wait, What?

2.Papoulis A,Pillai S.U.《概率、随机变量与随机过程》