辨析依概率收敛和以概率一收敛
依概率收敛和以概率一收敛是常见的收敛定义。但不易分清。
往往其常见的定义比较含糊。
可以转换一下,变得更加清晰。
定义如下:
Xn是一个随机变量序列,X是随机变量,对于任意自然数ε>0
都有:
依概率收敛:
$$
\lim_{n\to\infty}P({\omega:|X_n(\omega)-X_0(\omega)|\geqε})=0
$$
以概率一收敛(几乎处处收敛):
$$
\lim_{n\to\infty}P({\omega:\sup_{m>n}|X_m(\omega)-X_0(\omega)|\geqε})=0
$$
我们以一个图示来更加清晰地说明,我们把差值$|x_n-x|$绘成n的函数。为简单起见,把序列画成了曲线。于是曲线表示一特定的序列$|x_n(\xi )-x(\xi )|$。依概率收敛表示对于特定的$n>n_o$,仅有一小部分曲线的坐标超过ε(图(a))。当然,对于每一个$n>n_0$,可能甚至没有一条曲线始终小于ε,另一方面,几乎处处收敛则要求大多数曲线对每个$n>n_0$都低于ε(图(b))。
阅读材料:
1.Matt Simpson-I’m Almost Sure it’s Probably Converging… Wait, What?
2.Papoulis A,Pillai S.U.《概率、随机变量与随机过程》
辨析依概率收敛和以概率一收敛
https://lijianxiong.work/2021/20210514/