有趣的几道数院每日一题

今天的每日一题虽然难度不大，但比较有趣，事实上也无需大学的知识就能解决。

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数分：

求极限：
$$
lim_{n\to \infty}sinsin…x.\ \ \ \ (n个sin)
$$

几代：

设f(x)是整系数多项式，若f(0)与f(1)均为奇数.证明：f(x)无整根。

第一题：

事实上这个极限与$\frac{1}{\sqrt{n}}$同阶，更直接地说，这个极限与$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{n}}$等价。

详细可见论文： F. W. Hartmann.E2451(The Iterated Sine).The American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 1 (Jan., 1975), pp. 82-83

另解：

还可以利用：
$$
当x>0时，sinx<\frac{x}{\sqrt{1+\frac{x^2}{3}}}
$$

这个式子非常适合迭代。

第二题：

解法一：（反证法）

假设f(x)有整根n,则f(x)=(x-n)g(x),g(x）也为整系数多项式,
因为f(0)=-ng(0)为奇数,所以n为奇数,
又f(1)=-(n-1)g(1)为奇数,所以n-1为奇数；所以,n-1、n都为奇数,矛盾.
所以,假设不成立,
所以,f(x)无整根.

解法二：

f(x)是整系数多项式，故f(n)只有整数之间加、减、乘运算。整数可分为奇数和偶数，且满足以下运算法则：

​ 奇数+奇数=偶数

​ 奇数+偶数=偶数

​ 偶数+偶数=偶数

​ 奇数*奇数=奇数

​ 奇数*偶数=偶数

​ 偶数*偶数=偶数

而且运算是封闭的。

f(0)为奇代表着f(n)为奇（n为偶数）

f(1)为奇代表着f(n)为奇（n为奇数）

故f(n)都为奇数，故不存在整根。