有趣的几道数院每日一题
今天的每日一题虽然难度不大,但比较有趣,事实上也无需大学的知识就能解决。
数分:
求极限:
$$
lim_{n\to \infty}sinsin…x.\ \ \ \ (n个sin)
$$
几代:
设f(x)是整系数多项式,若f(0)与f(1)均为奇数.证明:f(x)无整根。
第一题:
事实上这个极限与$\frac{1}{\sqrt{n}}$同阶,更直接地说,这个极限与$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{n}}$等价。
详细可见论文: F. W. Hartmann.E2451(The Iterated Sine).The American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 1 (Jan., 1975), pp. 82-83
另解:
还可以利用:
$$
当x>0时,sinx<\frac{x}{\sqrt{1+\frac{x^2}{3}}}
$$
这个式子非常适合迭代。
第二题:
解法一:(反证法)
假设f(x)有整根n,则f(x)=(x-n)g(x),g(x)也为整系数多项式,
因为f(0)=-ng(0)为奇数,所以n为奇数,
又f(1)=-(n-1)g(1)为奇数,所以n-1为奇数;所以,n-1、n都为奇数,矛盾.
所以,假设不成立,
所以,f(x)无整根.
解法二:
f(x)是整系数多项式,故f(n)只有整数之间加、减、乘运算。整数可分为奇数和偶数,且满足以下运算法则:
奇数+奇数=偶数
奇数+偶数=偶数
偶数+偶数=偶数
奇数*奇数=奇数
奇数*偶数=偶数
偶数*偶数=偶数
而且运算是封闭的。
f(0)为奇代表着f(n)为奇(n为偶数)
f(1)为奇代表着f(n)为奇(n为奇数)
故f(n)都为奇数,故不存在整根。
有趣的几道数院每日一题
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