一道SYSU期末高数题

证明：当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$, $\frac{tanx}{x}> \frac{x}{sinx}$.

证法一：
$\sqrt{ \sin x \tan x } \geq \frac{2} { \frac{1} {\sin x} + \frac{ 1}{ \tan x} } = \frac{2 \sin x} { 1 + \cos x } = 2 \tan \frac{x}{2} \geq x$

证法二：
$\frac{\sin x}{x}=\int_0^1 \cos(t x)dt$,

$\frac{\tan x}{x}=\int_0^1\frac{1}{\cos^2(tx)}dt(0<x<\frac{\pi}{2}).$

根据Cauchy–Schwarz不等式有：
$\frac{\sin x}{x}\frac{\tan x}{x} $

$\geq (\int_0^1\frac{1}{\sqrt{\cos(tx)}}dt)^2>1(0<x<\frac{\pi}{2}).$

证法三：
即证$f(x)=sinxtanx-x^2>0$
而$f(0)=f’(0)=f’‘(0)=0$
$f’‘’(x)=sinx(5sec^2x-1)+bsin^3xsec^4x>0$
故$f(x)>0$