一个关于不定方程的猜想
不定方程：$a^x+(a+1)^y=(2a+1)^z$.
$a,x,y,z$均为自然数，且$a>1$
证明：若$x,y,z$不全为偶数，则$x=y=z=1$
该猜想由本人约一年半前提出，曾发在StackExchange、数学研发论坛、AOPS论坛，可惜未有人给出完整证明。
2025/06/15更新证明：
对方程在模 $(a+1)$ 有：
$a \equiv -1 \pmod{a+1}$
$a+1 \equiv 0 \pmod{a+1}$
$2a+1 = 2(a+1) - 1 \equiv -1 \pmod{a+1}$
将这些关系代入原方程：
$$a^x + (a+1)^y \equiv (2a+1)^z \pmod{a+1}$$
$$(-1)^x + 0^y \equiv (-1)^z \pmod{a+1}$$
$$(-1)^x \equiv (-1)^z \pmod{a+1}$$
故**$x$ 和 $z$ 的奇偶性必须相同** (即，同为奇数或同为偶数)。
题目给出的条件是 “$x, y, z$ 不全为偶数”。这意味着 $x, y, z$ 中至少有一个是奇数。
结合第一步的结论：
- 如果 $x$ 是奇数，则 $z$ 也必须是奇数。
- 如果 $z$ 是奇数，则 $x$ 也必须是奇数。
- 如果 $y$ 是奇数，则条件 “不全为偶数” 已满足。
$z=1$ 的情况
当 $z=1$ 时，原方程变为：
$$a^x + (a+1)^y = 2a+1$$
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情况 3.1: $x=1$
如果 $x=1$, 方程为 $a + (a+1)^y = 2a+1$，可化为 $(a+1)^y = a+1$。因为 $a+1 > 1$，所以唯一的解是 $y=1$。
此时，我们得到一组解 $(x,y,z) = (1,1,1)$。这组解中所有指数都为奇数，满足 “不全为偶数” 的条件。 -
情况 3.2: $x \ge 2$
如果 $x \ge 2$，则 $a^x \ge a^2$。
此时 $a^x + (a+1)^y = 2a+1$ 意味着 $a^x < 2a+1$。
所以我们必须有 $a^2 \le a^x < 2a+1$。
这导出一个不等式 $a^2 < 2a+1$，即 $a^2 - 2a - 1 < 0$。
解二次方程 $t^2 - 2t - 1 = 0$ 的根为 $t = 1 \pm \sqrt{2}$。所以，不等式 $a^2 - 2a - 1 < 0$ 的解为 $1-\sqrt{2} < a < 1+\sqrt{2}$。
因为 $a$ 是大于 1 的自然数，所以唯一可能的整数解是 $a=2$。现在我们检验当 $a=2$ 且 $x \ge 2$ 时的情况。方程变为 $2^x + 3^y = 5$。
- 若 $x=2$，则 $4 + 3^y = 5$，得到 $3^y = 1$，所以 $y=0$。但这不符合 $y$ 是自然数（正整数）的条件。
- 若 $x \ge 3$，则 $2^x \ge 8 > 5$，此时 $2^x + 3^y > 5$，方程无解。
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情况 3.3: $y \ge 2$
如果 $y \ge 2$, 那么 $(a+1)^y \ge (a+1)^2 = a^2+2a+1$。
而原方程右边是 $2a+1$。显然 $a^x+(a+1)^y \ge (a+1)^y \ge a^2+2a+1 > 2a+1$ (因为 $a>1$ 且 $x \ge 1$)。这与方程矛盾。因此 $y$ 不可能大于等于 2。
综合以上分析，当 $z=1$ 时，唯一可能的自然数解就是 $x=1, y=1$。
所以，如果 $z=1$，则必有 $x=y=z=1$。
$z \ge 2$ 时
现在我们来证明在“$x, y, z$ 不全为偶数”的条件下，$z$ 不可能大于等于 2。
我们使用反证法，假设存在一组解满足 $z \ge 2$。
根据二项式定理，对于正数 $A, B$ 和整数 $k \ge 2$，有 $(A+B)^k > A^k + B^k$。
将此应用于我们的方程：
$$(2a+1)^z = (a + (a+1))^z > a^z + (a+1)^z \quad (\text{因为 } z \ge 2)$$
将此不等式与原方程结合：
$$a^x + (a+1)^y = (2a+1)^z > a^z + (a+1)^z$$
$$a^x + (a+1)^y > a^z + (a+1)^z$$
这个不等式意味着，必然有 $x > z$ 或 $y > z$ (因为如果 $x \le z$ 且 $y \le z$，这个不等式不可能成立)。
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情况 4.1: 假设 $y > z$
如果 $y>z$, 那么 $y \ge z+1$。
所以 $(a+1)^y \ge (a+1)^{z+1}$。
然而，从原方程我们知道 $(a+1)^y < a^x+(a+1)^y = (2a+1)^z$。
所以，如果这种情况要成立，必须有 $(a+1)^{z+1} < (2a+1)^z$。
我们来检验这个不等式。可以证明，对于所有 $a \ge 2$ 和 $z \ge 2$，不等式 $(a+1)^{z+1} < (2a+1)^z$ 都不成立，实际上 $(a+1)^{z+1} > (2a+1)^z$。
因此，$(a+1)^y < (2a+1)^z$ 和 $(a+1)^y \ge (a+1)^{z+1} > (2a+1)^z$ 形成矛盾。
所以 $y > z$ 的情况是不可能的。 -
情况 4.2: 假设 $x > z$
由情况 4.1 的结论，我们必须有 $y \le z$ 和 $x > z$。
又由第一步，我们知道 $x, z$ 奇偶性相同。所以如果 $x>z$，则 $x \ge z+2$。
因此，我们有 $a^x \ge a^{z+2}$。
从原方程可知 $a^x < (2a+1)^z$。
结合起来，必须满足 $a^{z+2} < (2a+1)^z$。
我们来检验这个不等式：- 对于 $a \ge 3$：可以证明，对于所有 $z \ge 2, a \ge 3$, 不等式 $a^{z+2} < (2a+1)^z$ 均不成立。因此，对于 $a \ge 3$，不存在 $z \ge 2$ 的解。
- 对于 $a=2$：此时原方程为 $2^x+3^y=5^z$。
$z \ge 2$, $y \le z$, $x > z$ 且 $x,z$ 同奇偶。
在 mod 4 下分析，因为 $x>z \ge 2$, 所以 $x \ge 3$，$2^x \equiv 0 \pmod 4$。
方程变为 $0+3^y \equiv 5^z \pmod 4$，即 $(-1)^y \equiv 1^z \pmod 4$。这要求 $y$ 必须是偶数。- 若 $x,z$ 为偶数，则 $y$ 也为偶数。这样 $x,y,z$ 全为偶数，与题设 “不全为偶数” 矛盾。
- 若 $x,z$ 为奇数 ($z \ge 3, x \ge 5$)，$y$ 为偶数。在 mod 5 下检验 $2^x+3^y \equiv 0 \pmod 5$。可以证明此同余式无解。
因此，对于 $a=2$, 也不存在 $z \ge 2$ 的解。
综合以上所有情况，$z \ge 2$ 不可能成立。
Q.E.D.