一个关于不定方程的猜想

不定方程：$a^x+(a+1)^y=(2a+1)^z$.
$a,x,y,z$均为自然数，且$a>1$
证明：若$x,y,z$不全为偶数，则$x=y=z=1$

该猜想由本人约一年半前提出，曾发在StackExchange、数学研发论坛、AOPS论坛，可惜未有人给出完整证明。