条条大路通罗马,巧比大小多方法

(2014·湖北·22)
π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数。
(1)求函数f(x)=lnxx的单调区间
(2)将e3,3e,3π,π3,eπ,πe这六个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论。

解:(3)本题的关键是比较e3πeeππ3

9>πe

只需证 πe>e3,剩下的不言自明。

这道题看似是“空中楼阁”,但好心的命题者设计了梯子(第一问) 。

解法一:由(1)知,

f(x)<f(e)=1e

f(e2π)=lne2πe2π<1e

lnπ>2eπ

elnπ>e(2eπ)>2.7(22.73.14)>3

lnπe>3=lne3

e3<πe

事实上,这梯子不太容易攀爬,我们不妨舍弃该梯子,换一条道路直捣黄龙。
解法二:e3<πe
πe3>e
e3>910
只需证π910>e
1+1xx+1e
只需证 πe>1+18
即证8π>9e

而8x3.14>9x2.72

证毕。


条条大路通罗马,巧比大小多方法
https://lijianxiong.work/2019/20190815/
作者
LJX
发布于
2019年8月15日
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