条条大路通罗马，巧比大小多方法

（2014·湖北·22）
$\pi$为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数。
（1）求函数$f(x)=\frac{lnx}{x}$的单调区间
（2）将$e^3,3^e,3^{\pi },{\pi }^3,e^{\pi },{\pi }^e$这六个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。

解：（3）本题的关键是比较$e^3$与${\pi }^e$、$e^{\pi }$与${\pi }^3$

$\because$9>$\pi e$

$\therefore$ 只需证 ${\pi }^e$>$e^3$，剩下的不言自明。

这道题看似是“空中楼阁”，但好心的命题者设计了梯子（第一问） 。

解法一：由（1）知，

$f(x)<f(e)=\frac{1}{e}$

$f(\frac{e^2}{\pi })=\frac{ln\frac{e^2}{\pi }}{\frac{e^2}{\pi }}<\frac{1}{e}$

即$ln\pi >2-\frac{e}{\pi }$

$\therefore eln\pi >e(2-\frac{e}{\pi })>2.7(2-\frac{2.7}{3.14})>3$

$ln{\pi }^e>3=ln{e}^3$

$\Rightarrow e^3<{\pi }^e$

事实上，这梯子不太容易攀爬，我们不妨舍弃该梯子，换一条道路直捣黄龙。
解法二：$e^3$<${\pi }^e$
$\iff {\pi }^{\frac{e}{3}}>e$
而$\frac{e}{3}>\frac{9}{10}$
$\therefore$只需证${\pi }^{\frac{9}{10}}>e$
而 ${1+\frac{1}{x}}^{x+1}\ge e$
$\therefore$只需证 $\frac{\pi }{e}>1+\frac{1}{8}$
即证$8\pi >9e$

而8x3.14>9x2.72

证毕。