条条大路通罗马，巧比大小多方法

（2014·湖北·22）
$\pi$为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数。
（1）求函数$f(x)=\frac{lnx}{x}$的单调区间
（2）将$e^3,3^e,3^{\pi},{\pi}^3,e^{\pi},{\pi}^e$这六个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。

解：（3）本题的关键是比较$e^3$与${\pi}^e$、$e^{\pi}$与${\pi}^3$

$\because $9>${\pi}e$

$\therefore$ 只需证 ${\pi}^e$>$e^3$，剩下的不言自明。

这道题看似是“空中楼阁”，但好心的命题者设计了梯子（第一问） 。

解法一：由（1）知，

$f(x)<f(e)=\frac{1}{e}$

$f(\frac{e^2}{\pi})=\frac{ln{\frac{e^2}{\pi}}}{\frac{e^2}{\pi}}<\frac{1}{e}$

即$ln{\pi}>2-\frac{e}{\pi}$

$\therefore eln\pi>e(2-\frac{e}{\pi})>2.7(2-\frac{2.7}{3.14}) >3$

$ln{\pi^e}>3=ln{e^3} $

$\Rightarrow e^3 <\pi ^e$

事实上，这梯子不太容易攀爬，我们不妨舍弃该梯子，换一条道路直捣黄龙。
解法二：$e^3$<$\pi^e$
$\Leftrightarrow {\pi}^{\frac{e}{3}}>e$
而$\frac{e}{3}>\frac{9}{10}$
$\therefore $只需证$ \pi^{\frac{9}{10}}>e$
而 ${1+\frac{1}{x}}^{x+1}\geq e$
$\therefore $只需证 $\frac{\pi}{e}>1+\frac{1}{8}$
即证$8\pi>9e$

而8x3.14>9x2.72

证毕。