一个几何不等式

$R-2r{\ge}\frac{1}{8R}\sum(a-b)^2$

证明：

$\Leftrightarrow 1-2\frac{r}{R}{\ge}\frac{1}{8R^2}\sum(a-b)^2$

$\Leftrightarrow 1-2\frac{r}{R}{\ge}\sum sin^2{A} -\sum sin{A}sin{B}$

$\Leftrightarrow 1-2\frac{r}{R}{\ge}2+2cos{A}cos{B}cos{C} -\sum sin{A}sin{B}$

$\Leftrightarrow 1-2\frac{r}{R}{\ge}2+2*\frac{s^2-(2R+r)^2}{4R^2} -\frac{s^2+4Rr+r^2}{4R^2}$

$\Leftrightarrow 4R^2+4Rr+3r^2{\ge}s^2 $ (此即Gerretsen’s Inequality)

这条不等式强化了欧拉不等式$(R\geq 2r)$，还指明了等号成立条件。唯一不足是不太具有对称性，还可以变形为:$\frac{R}{2r}\geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{4abc}$