一个美妙的不等式

最近在Aops论坛上发现了这个美妙的不等式，由Pirkuliyev Rovsen提出并被我加强。

$\ln \sqrt{\frac{n+1}{2}}<\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{2 n+3}<\ln \sqrt{\frac{n+2}{2}}$

证明：

不等式右边：

$\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{2 n+3}<\ln \sqrt{\frac{n+2}{2}}$
$\Leftarrow \frac{1}{2 n+3}<\ln \sqrt{\frac{n+2}{2}}-\ln \sqrt{\frac{n+1}{2}}$

这个等价于对数平均不等式。

不等式左边(来自Aniv的证明)：

即证$\ln \sqrt{\frac{n+2}{2}}<\frac{1}{2 n+5}+\ln \sqrt{\frac{n+1}{2}}<\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{2 n+3}+\frac{1}{2 n+5}$
$\ln \sqrt{\frac{n+2}{2}}<\frac{1}{2 n+5}+\ln \sqrt{\frac{n+1}{2}} \Longleftrightarrow \ln \left(\frac{n+1}{n+2}\right)+\frac{1}{\left(n+\frac{5}{2}\right)}>0$
设 $f(x)=\ln (x+1)-\ln (x+2)+\frac{1}{x+\frac{5}{2}}$
则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}>0, \forall x \geq 1$
所以 $f(x) \geq f(1)>0, \forall x \geq 1$
所以 $\ln \sqrt{\frac{n+2}{2}}<\frac{1}{2 n+5}+\ln \sqrt{\frac{n+1}{2}}, \forall n \geq 1$
证毕.

这个不等式精度很高，ln2的值只相差了大约千分之一。